Citation: Tong-Sheng YANG, Renagul ABDURAHMAN, Qian-Ting YANG, Xue-Feng SUN, Gang-Hui CHU. Preparation and Optical Properties of Size Controllable Near-Infrared Emitting Zn1.4Ga1.97-2xO4∶1.5%Cr, xIn Persistent Luminescent Nanoparticles[J]. Chinese Journal of Inorganic Chemistry, 2022, 38(3): 449-458. doi: 10.11862/CJIC.2022.049
尺寸可控Zn1.4Ga1.97-2xO4∶1.5%Cr,xIn近红外发光长余辉纳米颗粒的制备及其光学性质
English
Preparation and Optical Properties of Size Controllable Near-Infrared Emitting Zn1.4Ga1.97-2xO4∶1.5%Cr, xIn Persistent Luminescent Nanoparticles
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Key words:
- persistent luminescent nanoparticles
- / size controllable
- / In3+ doping
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长余辉发光纳米颗粒(persistent luminescent nanoparticles,PLNPs)是一种神奇的光学材料,它能储存激发能且激发停止后能够持续发光数小时,甚至数天[1-3]。由于PLNPs可将太阳能白天储存起来,晚上慢慢地释放,并重复利用,而近红外(NIR)发光PLNPs能够有效穿透生物组织、无背景干扰且对生物组织具有光毒性,因此,PLNPs的应用从弱光照明、指示灯已发展到信息存储、分析检测以及目前最热门的生物成像、诊断和检测等领域[4-5]。
光学性质、尺寸在PLNPs应用中起着重要的作用。近年来研发尺寸小、余辉发光性质优良的PLNPs已成为研究热点。Li等[6]采用表面活性剂辅助水热法结合短时间高温煅烧及二次水热处理,制备了小尺寸、单分散PLNPs,通过调节共掺杂离子Cr3+、Yb3+、Er3+和基质中Ge4+的掺杂量,改善了PLNPs的余辉发光时间。我们通过溶剂热辅助高温煅烧法制备了尺寸为45 nm左右的PLNPs,并与光敏剂硅酞青结合构建了光动力治疗探针[7]。Wei等[8]以乙酰丙酮盐作为前驱物,在制备过程中加入甲醇获得了尺寸可调的PLNPs。所制备的PLNPs的粒径为4~31 nm,余辉时间长达5 h,量子产率已达51%,但成本过于昂贵。Gong等[9]通过改变Pr3+的掺杂,获得了尺寸可控的PLNPs。为了制备小尺寸PLNPs,研究人员尝试了多种方法,如改进制备工艺、改变共掺杂离子,这使其制备技术得到了飞速发展。
我们利用一步水热法,在Zn1.4Ga1.97O4∶1.5%Cr (ZGO∶1.5%Cr)基础上引入共掺杂离子In3+,通过改变In3+的掺杂量,研究其对ZGO∶1.5%Cr体系发光性能、粒径尺寸以及结构的影响,实现了Zn1.4Ga1.97-2xO4∶1.5%Cr,xIn(ZGO∶1.5%Cr,xIn,x=0%、0.1%、0.2%、0.3%、0.4%、0.5%)尺寸和余辉发光性质的同时可控,力求为NIR发光的PLNPs的应用奠定基础。
1. 实验部分
1.1 试剂与仪器
六水合硝酸锌(Zn(NO3)·6H2O,99.99%)、水合硝酸铟(In(NO3)3·xH2O,99.9%)、九水合硝酸铬(Cr(NO3)3 ·9H2O,99.99%)、氧化镓(Ga2O3,99.99%) 购自阿拉丁。氨水、浓硝酸和无水乙醇购自天津光复精细化学品研究所。上述试剂均为分析纯。超纯水购自杭州娃哈哈公司。
利用电热鼓风干燥箱(DHG-9075AE,无锡玛瑞特科技有限公司)进行水热反应;PLNPs在真空干燥箱(DZF-6050,上海齐欣科学仪器有限公司)中干燥;通过高速离心机(HC-3518,安徽中科中佳科学仪器有限公司)对PLNPs进行洗涤;通过超声波清洗机(SB-5200T,宁波新艺超声设备有限公司)分散样品;采用X射线衍射仪(smartlab9K,Rigaku,Japan)获得样品X射线衍射(XRD)图,Cu Kα射线,波长为0.15406 nm,工作电压为40 kV,工作电流为60 mA,扫描角度2θ=20°~80°;采用F-7000型荧光光谱仪(Hita-chi,Japan)获得余辉衰减谱图和荧光光谱;利用小动物活体上转换光学及X光成像系统-IVIS Lumina XRMS Series Ⅲ(America) 仪获得余辉图像;采用场发射透射电镜(TEM,JEOL JEM-2100 F,Japan)获得材料表面形貌及能谱图(EDS),测试电压为200 kV;采用纳米激光粒度仪-ZEN3700(England)获得水合粒径分布图。
1.2 尺寸可控ZGO∶1.5%Cr,xIn的制备
首先,称取Ga2O3粉末至反应釜内衬中,并加入适量浓硝酸和超纯水,160 ℃加热反应10 h使其完全反应并溶解后,将溶液转移至100 mL容量瓶内,配制浓度为0.5 mol·L-1 Ga3+溶液。将Zn(NO3)2· 6H2O、Cr(NO3)3·9H2O及In(NO3)3·xH2O溶解在超纯水中,分别制备一定浓度的Zn2+、Cr3+及In3+水溶液。然后将上述溶液按照通式Zn1.4Ga1.97-2xO4∶1.5%Cr,xIn (ZGO∶1.5%Cr,xIn,x=0%、0.1%、0.2%、0.3%、0.4%、0.5%,其中x为In3+相对于Ga3+的物质的量分数)中的比例,在搅拌下混合于圆底烧瓶中,室温搅拌30 min混合均匀后,加入氨水(28%)将pH值调为8.5,继续搅拌3 h,超声10 min。然后将该前驱体混合液转移入聚氟乙烯内衬的不锈钢反应釜中,在鼓风干燥箱中220 ℃水热反应24 h。冷却后,用超纯水和0.01 mmol·L-1 HCl交替洗涤3~4次(洗掉未反应的Zn2+),最终在70 ℃下真空干燥12 h,即可获得不同含量In3+掺杂的NIR发光的尺寸可控ZGO∶1.5%Cr,xIn PLNPs。
1.3 光学性质的测试
首先将ZGO∶1.5%Cr,xIn系列粉末样品在荧光光谱仪的磷光模式下测试,获得激发和发射光谱。然后分别在254 nm的紫外灯下激发5 min,在荧光光谱仪的磷光模式下,将发射波长设定为699 nm,测试余辉衰减曲线光谱(扫描速率设为240 nm· min-1)。NIR余辉衰减图像和信息储存图像通过小动物活体上转换光学及X光成像系统-IVIS Lumina XRMS Series Ⅲ,在没有任何激发/发射滤光片的发光成像模式下进行拍摄得到。
2. 结果与讨论
2.1 尺寸可控ZGO∶1.5%Cr,xIn的表征
图 1为不同含量In3+掺杂的ZGO∶1.5%Cr,xIn PLNPs的XRD图。由图可知,所有样品在30.38°、35.68°、43.34°、54.42°和63.08°处的衍射峰与标准尖晶石结构ZnGa2O4(PDF No.38-1240)的峰位完全一致,属于ZnGa2O4的(220)、(311)、(400)、(511)和(440)晶面衍射峰[10]。图中未发现ZnO、Ga2O3等杂相,表明In3+掺杂对ZnGa2O4的晶相结构未产生影响。
图 1
为了研究In3+含量对材料形貌尺寸的影响,我们对ZGO∶1.5%Cr,xIn系列样品进行了TEM测定和水合粒径分析,结果如图 2、3所示。由图 2可见,In3+的掺杂对PLNPs的尺寸有明显的影响。未掺杂In3+时PLNPs平均尺寸为(23.63±5.89) nm(图 2a、2b);当In3+掺杂量从0% 增加到0.5% 时,ZGO∶1.5%Cr,xIn PLNPs的平均尺寸明显减小(图 2a~2l);当In3+掺杂量达到0.2%时,PLNPs的尺寸为6~28 nm,平均尺寸为(13.79±3.74) nm,分布最为均匀,平均粒径最小(图 2e、2f)。In3+掺杂量不同时可获得不同尺寸的ZGO∶ 1.5%Cr,xIn PLNPs,这可能是由于In3+的掺杂改变了纳米粒子的表面电荷分布,抑制了主体离子向表面的扩散,降低了晶体生长速率[9],从而获得尺寸可控的ZGO∶1.5%Cr,xIn PLNPs。另外,In3+掺杂时,离子半径较大的In3+(91 pm)取代较小的Ga3+(61 pm),占据Ga3+的八面体位点。当改变In3+掺杂量时,可能引起被取代的Ga3+八面体位点的改变(被占据的Ga3+八面体位点越来越多),使得三价离子间的距离改变,引起晶胞常数及晶胞体积的变化[11-12]。晶胞常数及晶胞体积的略微变化引起晶格发生应变,而为了使晶格应变效应达到平衡,产生了内部应力,这种应力阻碍了晶粒的生长[13],从而导致ZGO∶1.5%Cr,xIn PLNPs尺寸的变化。不同In3+离子掺杂ZGO∶ 1.5%Cr,xIn PLNP的晶胞参数如表 1所示。晶格间距d由布拉格方程(式1)得到[14]:
$ 2 d \sin \theta=n \lambda $ (1) 图 2
图 3
表 1
x Cell parameter/nm Cell volume/nm3 0% 0.833 08 0.578 19 0.1% 0.833 25 0.578 54 0.2% 0.833 37 0.578 78 0.3% 0.832 92 0.577 83 0.4% 0.833 34 0.578 72 0.5% 0.833 51 0.579 07 晶格常数a可以由适用于立方体系的方程式2来计算[12]:
$ \frac{1}{d^{2}}=\frac{h^{2}+k^{2}+l^{2}}{a} $ (2) 其中,λ为所采用的X射线波长(0.154 06 nm),θ为扫描角度,Miller指数h、k、l由ZnGa2O4的XRD标准卡片(PDF No.38-1240)得到(这里用(220)晶面进行分析),n表示衍射级数(通常n=1)。
当x=0%、0.1% 时,晶格常数增大;当x=0.2% 时,晶格常数减小;当x=0.3%、0.4%、0.5% 时,晶格常数增大。由于In3+的离子半径大于Ga3+,晶格常数随着x的增大而增大(x < 0.2%)。当x达到0.2%时,材料不断地膨胀会导致晶格扭曲,或者取代的In3+离子从晶格中分离,在这种情况下,晶格常数会随着x的增加而减小。根据已有报道,在ZnGa2O4体系中存在反位缺陷,即Ga3+位点也存在于四面体格位中,随着In3+离子浓度的增加(x>0.4%),In3+迁移到更小的四面体位点上,此时为了适应较大的In3+,四面体格位在不变形的情况下膨胀[11-12, 15],粒径也稍有增大,但都小于ZGO∶1.5%Cr。Verma等[11] 制备Mg0.2Mn0.5Ni0.3InxFe2xO4时得到了类似的结果。
系列ZGO∶1.5%Cr,xIn PLNPs的水合粒径分布如图 3所示,In3+掺杂后,PLNPs粒径明显减小,尺寸变化趋势大小为ZGO∶1.5%Cr, 0.2%In < ZGO∶1.5%Cr, 0.3%In < ZGO∶1.5%Cr, 0.4%In < ZGO∶1.5%Cr,0.5%In < ZGO∶1.5%Cr, 0.1%In < ZGO∶1.5%Cr,与TEM结果一致,表明In3+的引入有利于制备尺寸可控的PLNPs,能有效控制PLNPs的粒径生长。小尺寸纳米颗粒不易被肝、胆代谢,有利于延长在体内血液的循环时间[16]。制备的系列ZGO∶1.5%Cr,xIn PLNPs的尺寸小并可控,在高效生物成像、治疗等领域具有巨大的应用潜力。
为探究ZGO∶1.5%Cr,0.2%In PLNPs中各元素分布情况,对样品进行EDS测试(图 4)。由图可知,各元素分布均匀,In3+成功掺杂,且无聚集现象。EDS谱图(图S1,Supporting information)显示,ZGO∶ 1.5%Cr,0.2%In PLNPs中存在Zn、Cr、In、Ga、O元素。由图S2可知,ZGO∶1.5%Cr,xIn PLNPs晶体的平均晶格间距为0.294 6 nm,对应尖晶石结构ZnGa2O4(220)晶面[17-18]。
图 4
2.2 余辉发光性能
不同In3+掺杂的ZGO∶1.5%Cr,xIn PLNPs的激发发射光谱如图 5所示,ZGO∶1.5%Cr,xIn PLNPs在600~850 nm之间出现了以699 nm为中心的NIR发射峰(图 5a),归因于Cr3+在八面体晶体场中的2E→4A2跃迁[19],717 nm处的发射峰归属于4T2g(4F)→4A2(4F)的能级跃迁[20];与未掺杂In3+的ZGO∶1.5%Cr相比,In3+掺杂量的增大不影响其在699和717 nm处的发射峰位置,但使其峰强先增大后减小,当In3+掺杂量达到0.2% 时,发光强度最大。将发射波长设定为699 nm,获得不同In3+掺杂的尺寸可控的ZGO∶1.5%Cr,xIn PLNPs的激发光谱(图 5b),由图可知,在240、416、555 nm处出现3个激发峰,其中416、555 nm处的峰属于Cr3+离子的3d内层电子跃迁[21-22],分别对应Cr的4A2→4T1(4F)和4A2→4T2能级跃迁[23],240 nm处的峰是ZGO基质本身的激发带与O—Cr电荷转移带的结合[24-25]。In3+掺杂量增加时,ZGO∶1.5%Cr,xIn PLNPs在416、555 nm处的激发峰位置不变,而在240 nm处的激发峰强度先增大后减小,当In3+掺杂量达到0.2% 时,激发峰强度最高,与发射光谱(图 5a)相一致。说明In3+掺杂能够增强样品的发光强度,这可能是由于In3+的掺杂能够改变Cr3+的配位环境,增加体系陷阱浓度,导致样品的发光增强[26]。
图 5
不同含量In3+掺杂的尺寸可控ZGO∶1.5%Cr,xIn PLNPs余辉衰减曲线如图 6所示,停止激发后,刚开始时,In3+掺杂量为0.2%、0.4%、0.5% 的ZGO∶ 1.5%Cr,xIn PLNPs初始强度增强,但在衰减过程中,In3+掺杂量为0.2% 的ZGO∶1.5%Cr,0.2%In PLNPs保持相对较高的余辉强度。由于ZGO∶1.5%Cr,xIn PLNPs陷阱深度差异,其余辉在衰减过程中,刚开始时的衰减较快,随后的衰减变缓慢。停止激发后,浅陷阱释放的电子与Cr3+复合而发出强的NIR余辉,浅陷阱能级耗尽后,深陷阱的电子起主导作用,而直接隧穿短距离的导带到达Cr3+附近,并且被捕捉到与Cr3+匹配的能级,从而产生NIR余辉发光[27]。图 5a、5b及图 6显示,当In3+的掺杂量不同时,激发发射强度和余辉强度的增强趋势不完全一致,发射光强度变化趋势大小为ZGO∶1.5%Cr,0.2%In > ZGO∶ 1.5%Cr, 0.3%In > ZGO∶1.5%Cr, 0.1%In > ZGO∶1.5%Cr,0.4%In > ZGO∶1.5%Cr > ZGO∶1.5%Cr, 0.5%In(图 5a),激发光强度变化趋势为ZGO∶1.5%Cr,0.2%In > ZGO∶ 1.5%Cr,0.3%In > ZGO∶1.5%Cr,0.1%In > ZGO∶1.5%Cr > ZGO∶1.5%Cr,0.4%In > ZGO∶1.5%Cr,0.5%In(图 5b),而余辉的衰减变化趋势大小为ZGO∶1.5%Cr,0.2%In > ZGO∶1.5%Cr,0.3%In > ZGO∶1.5%Cr, 0.5%In > ZGO∶1.5%Cr > ZGO∶1.5%Cr,0.4%In > ZGO∶1.5%Cr,0.1%In(图 6)。在In3+掺杂量的优化范围内,不同缺陷之间的相互作用发生变化,使得不同缺陷之间发生了缺陷重组现象;不同缺陷间的相互作用程度不同,使得陷阱的浓度和深度不同,引起余辉的强度和衰减趋势不同[28]。如图 5所示,与未掺杂In3+的ZGO∶1.5%Cr相比,可能是由于Cr3+更倾向于在扭曲的八面体配位中取代,并且In3+的半径大于Ga3+,因此In3+取代Ga3+会引起更高的周期性晶格畸变,这就会产生更多的有效缺陷以及空穴陷阱,使得ZGO∶ 1.5%Cr,0.2%In PLNPs的余辉衰减强度增强[29-30],即可增强余辉发光并延长余辉时间。另外,ZGO∶ 1.5%Cr,xIn PLNPs体系中的In位于第五周期第ⅢA族,与Ga是同一主族,具有相同的电荷量,In3+可掺入ZnGa2O4间隙中。而In(1.78) 的电负性低于Ga (1.85),高于Zn(1.65),当掺杂In3+时,In与Ga及Zn的电负性差异有利于化合物的带隙微调和缺陷的适当修饰[12],这可能是导致PLNPs性能提升(尺寸、余辉发光性质)的另外一个原因。
图 6
我们通过调整In3+的掺杂量实现了尺寸和余辉发光性质的同时可控。当In3+的掺杂量为0.2% 时,制得的ZGO∶1.5%Cr,0.2%In PLNPs尺寸最小(图 2),分散性最好,余辉发光性能最佳,故PLNPs的最佳组成为ZGO∶1.5%Cr,0.2%In,该PLNPs在疾病的精准诊断、信息储存等领域具有潜在的应用潜力。
为深入探究尺寸可控ZGO∶1.5%Cr,0.2%In PLNPs的余辉发光性能,进行了NIR余辉发光图像测试。选择余辉强度和发光强度最强的ZGO∶ 1.5%Cr,0.2%In PLNPs,在254 nm UV灯下激发10 min后,通过小动物活体成像仪,在没有其他激发光源照射下,拍摄收集NIR余辉发光成像(图 7a、7b)。对In3+掺杂前的ZGO∶1.5%Cr PLNPs和In3+掺杂后的ZGO∶1.5%Cr,0.2%In PLNPs余辉发光进行了探究。由图 7a可知,激发光源移除30 min后仍能够采集到明亮的红光。2 h后相对于ZGO∶1.5%Cr PLNPs,ZGO∶1.5%Cr,xIn PLNPs仍能够收集到红光。停止UV激发5 d后,ZGO∶1.5%Cr PLNPs和ZGO∶ 1.5%Cr,0.2%In PLNPs均发射一定强度的NIR余辉信号,因此估计其NIR余辉发光时间大于5 d,以5 d时的荧光信号强度除以背景噪音强度,通过计算得到,掺杂In3+时,ZGO∶1.5%Cr,0.2%In PLNPs信噪比(S/N=130)大于In3+掺杂前的ZGO∶1.5%Cr PLNPs信噪比(S/N=112),说明ZGO∶1.5%Cr,0.2%In PLNPs明显拥有更强的余辉强度和更长的余辉时间,有利于更有效消除背景干扰。用LED灯进行再激发60 s后,还可以观察到大于1 d的余辉信号(图 7a、7c)。
图 7
图 7. ZGO∶1.5%Cr和ZGO∶1.5%Cr, 0.2%In PLNPs的持续发光性能Figure 7. Persistent luminescence properties of ZGO∶1.5%Cr and ZGO∶1.5%Cr, 0.2%In PLNPs(a) Persistent luminescence images after UV irradiation for 10 min; (b) Persistent luminescence curves after UV irradiation for 10 min; (c) Photo-stimulated persistent luminescence curves after LED excitation for 60 s
经LED灯激发后,明显观察得到ZGO∶1.5%Cr,0.2%In PLNPs具有更强的余辉发光性能,这更进一步证明,In3+掺杂后,ZGO∶1.5%Cr,0.2%In PLNPs具有更强的余辉发光强度(图 7c)。这表明掺杂适量的In3+有利于增强NIR余辉发光时间。
表 2显示用三指数方程(式3)可以很好地拟合余辉衰减曲线[31]。
$ I_{t}=I_{0}+A_{1} \exp \left(\frac{-t}{\tau_{1}}\right)+A_{2} \exp \left(\frac{-t}{\tau_{2}}\right)+A_{3} \exp \left(\frac{-t}{\tau_{3}}\right) $ (3) 表 2
Sample τ1/s A1 τ2/s A2 τ3/s A3 τava/s ZGO∶1.5%Cr 4.59 4 150.64 17.49 864.13 88.64 224.34 10.32 ZGO∶1.5%Cr, 0.2%In 4.49 4 281.24 17.97 910.66 90.33 265.06 10.91 ${ }^{\mathrm{a}} \tau_{\mathrm{av}}=\frac{A_{1} \tau_{1}+A_{2} \tau_{2}+A_{3} \tau_{3}}{A_{1}+A_{2}+A_{3}}. $ 其中,I0为持续发光的初始余辉强度;It为持续发光时间t时的余辉强度。拟合得到的其他参数如表 1所示,A1、A2和A3都是常数;τ1、τ2和τ3是推导出的表达3种不同衰减过程的指数分量的寿命[32]。平均光致发光寿命(τav)表明,引入In3+后可获得较长的发光寿命,较长的余辉发光时间使得ZGO∶1.5%Cr,0.2%In PLNPs在信息储存、防伪技术领域以及在生物医学成像监测应用中具有潜在的应用价值。
2.3 信息储存性能
PLNPs深陷阱中的能量在室温下很难被释放,因而可以应用于信息储存。在紫外灯激发时,遮光板会使得部分长余辉材料不能被激发,因此材料的发光图像可以记录遮光板的形状信息。停止激发10 min、30 min、1 h后(分别对应图 8a、8b、8c),从ZGO∶1.5%Cr,0.2%In PLNPs的发光图像可以清晰地分辨出遮光板“Y”的形状,即可以在1 h内记录被储存的信息,说明本研究制备的小尺寸ZGO∶1.5%Cr,0.2%In PLNPs在信息储存领域有着巨大的应用潜力。
图 8
3. 结论
利用一步水热法,通过In3+的共掺杂制备了尺寸可控的ZGO∶1.5%Cr,xIn PLNPs。考察了In3+掺杂对ZGO∶1.5%Cr PLNPs尺寸、晶体结构及NIR余辉性能的影响,探究了ZGO∶1.5%Cr,0.2%In PLNPs在信息储存领域的潜能。通过调整In3+的掺杂量实现了尺寸和余辉发光性质的同时可控,当In3+的掺杂量为0.2%时,制得的ZGO∶1.5%Cr,0.2%In PLNPs尺寸最小,为13.79 nm,分散性最好,余辉发光性能最佳,在疾病的精准诊断、信息储存等领域具有潜在的应用潜力。ZGO∶1.5%Cr,0.2%In PLNPs为尖晶石结构,具有良好的NIR余辉发光性能,余辉发光时间大于5 d,可通过LED灯再激发,并且可清晰记录1 h内储存的信息。未来有望对尺寸可控ZGO∶ 1.5%Cr,0.2%In PLNPs进一步表面修饰,制备功能NIR长余辉纳米探针,应用于高效信息储存以及高信噪比、高灵敏度生物医学成像领域。
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图 7 ZGO∶1.5%Cr和ZGO∶1.5%Cr, 0.2%In PLNPs的持续发光性能
Figure 7 Persistent luminescence properties of ZGO∶1.5%Cr and ZGO∶1.5%Cr, 0.2%In PLNPs
(a) Persistent luminescence images after UV irradiation for 10 min; (b) Persistent luminescence curves after UV irradiation for 10 min; (c) Photo-stimulated persistent luminescence curves after LED excitation for 60 s
表 1 ZGO∶1.5%Cr, xIn PLNPs的晶胞参数
Table 1. Cell parameters of ZGO∶1.5%Cr, xIn PLNPs
x Cell parameter/nm Cell volume/nm3 0% 0.833 08 0.578 19 0.1% 0.833 25 0.578 54 0.2% 0.833 37 0.578 78 0.3% 0.832 92 0.577 83 0.4% 0.833 34 0.578 72 0.5% 0.833 51 0.579 07 表 2 余辉衰减曲线拟合参数
Table 2. Fitting parameters of photoluminescence decay curve
Sample τ1/s A1 τ2/s A2 τ3/s A3 τava/s ZGO∶1.5%Cr 4.59 4 150.64 17.49 864.13 88.64 224.34 10.32 ZGO∶1.5%Cr, 0.2%In 4.49 4 281.24 17.97 910.66 90.33 265.06 10.91 ${ }^{\mathrm{a}} \tau_{\mathrm{av}}=\frac{A_{1} \tau_{1}+A_{2} \tau_{2}+A_{3} \tau_{3}}{A_{1}+A_{2}+A_{3}}. $ -
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